Neštevne množice in igra realnih števil

Tina Orejaš (2017) Neštevne množice in igra realnih števil. Diplomsko delo.

Predogled

PDF Download (1089Kb)

Povzetek

Množica je števno neskončna, če je ekvipolentna (ima enako moč) množici naravnih števil. Števna neskončnost je najmanjša neskončnost, v smislu, da ima vsaka neskončna množica števno neskončno podmnožico. Množica realnih števil ni števno neskončna, kar klasično dokažemo s protislovjem, če predpostavimo, da obstaja surjekcija iz množice naravnih števili v množico realnih števil. Obstaja pa tudi alternativni dokaz s pomočjo neskončne igre realnih števil. Pri igri imamo dva igralca, ki si najprej izbereta neko podmnožico S intervala [0,1], nato pa izmenjujoče izbirata realna števila. Prvi igralec izbere neko število a_1 med 0 in 1. Drugi igralec potem izbere neko število b_1 med a_1 in 1. Tako v n-tem krogu prvi igralec izbere realno število a_n, za katero velja a_(n-1)≤a_n≤b_(n-1), potem pa drugi igralec izbere število b_n, tako da velja a_n≤b_n≤b_(n-1). Prvi igralec ima zmagovalno strategijo, če lahko, ne glede na strategijo drugega igralca, števila vedno izbira tako, da je α=lim┬(n→∞)⁡〖a_n 〗 v množici S (vsako naraščajoče zaporedje realnih števil, ki je navzgor omejeno, ima limito). Če je množica S kar interval [0,1], ima prvi igralec seveda zmagovalno strategijo, malo težje pa je videti, da prvi igralec nima zmagovalne strategije, če je množica S števna.

Akcije (potrebna je prijava)